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一日遅れで、円周率の日

注目の検索キーワードに「円周率」というのが出ていて、なぜだろうと思ったら、昨日(3/14)は「円周率の日」なのだそうだ。
そこでエクセルを用いて簡単に円周率を計算するとどうなるか試してみた。

数式は書きにくいので、読みにくいのはご容赦を。


■ライプニッツの公式。よく知られた無限級数だが、これは14世紀から知られていたらしい。
1/1-1/3+1/5-1/7+1/9・・・=π/4
これは収束が遅く、3.141まで確定するのに2455項まで足す必要がある。

■ウォリスの方法
(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)・・・=π/2
これも収束が遅く、3.141まで確定するのに3857項掛ける必要があった。

■オイラーの方法
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)・・・=(π^2)/6
これはもう少し早いが、10297項まで足して3.1415を得た。

■もっと早い方法
(2n)!/{2^(4n+1)*(n!)^2*(2n+1)}
を、n=0から足していく方法
これは収束が早く、n=20で、3.14159265358979という値が得られる。

■ガウス・ルジャンドルのアルゴリズム
まず、a、b、t、pという4つの数を定義する。
初期値は、
 a=1
 b=√0.5
 t=0.25
 p=1
ここで、
 x=(a+b)/2、y=√abとすると、円周率の近似値は 
 (a+b)^2/4tで示される。

次の段階で
 aにxを代入、bにyを代入
 tには、前回のtからp*(a-x)^2を引いた値を代入する。
 pは前回のpを2倍する。
x、yは前回と同じ計算をすると、2回目の近似値が得られる。
これを繰り返すと、わずか4回で、3.14159265358979が得られる。
このアルゴリズムを用いて、現在では1兆桁以上計算されている。
なお、エクセルでは有効数字15桁までしか計算しないので、これ以上は無理。

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